«Точки і квадрати»: зошитова гра з математичною історією
Класичні ігри · · 3 хв читання
Майже всі грали в «Точки і квадрати» на останній сторінці зошита, і майже ніхто не знає, звідки ця гра. Слід у неї короткий, але чіткий: французький математик у 1880-х, відома книжка про математичні ігри через століття і комп’ютер, який 2012 року до кінця розв’язав одну дошку.
Ця стаття йде цим слідом, збирає назви гри й описує варіанти, які варто спробувати, коли звичайна дошка перестане дивувати.
Едуар Люка і la pipopipette
Найраніший опис, на який зазвичай посилаються, належить Едуару Люка (1842–1891), французькому математику, відомому працями про прості числа й тим, що він вигадав головоломку «Ханойська вежа». Він назвав гру la pipopipette. Довідники датують її 1889 роком, а Люка описав її в книжці математичних розваг L’Arithmétique amusante, що вийшла 1895 року, уже після його смерті.
Його правила грають і досі: проведіть лінію між двома сусідніми крапками, а хто замкнув квадрат, забирає його й ходить ще раз. Чи малювали діти квадрати до того, як він записав гру, ніхто сказати не може. Гра на полях зошита слідів не лишає.
Одна гра, багато назв
Англійською це Dots and Boxes, а ще dots and dashes, game of dots, boxes або pigs in a pen, «свині в загоні». Інші мови називають її за тим, що видно на папері:
- Німецька: Käsekästchen, дослівно «сирні клітинки»; її малюють на папері в клітинку зі шкільного зошита.
- Нідерландська: Kamertje verhuren, «здавати кімнати»: кожен замкнутий квадрат стає кімнатою того, хто його замкнув.
- Французька: la pipopipette за часів Люка, а сьогодні зазвичай гра в маленькі квадрати, le jeu des petits carrés.
Від книжки головоломок до Winning Ways
Серйозною математикою гра стала 1982 року, коли Елвін Берлекемп, Джон Конвей і Річард Гай присвятили їй розділ книжки Winning Ways for your Mathematical Plays, свого дослідження ігор для двох. У цьому розділі викладено ланцюжки, double-cross і правило підрахунку, якими користуються сильні гравці, — ідеї з нашого посібника зі стратегії «Точок і квадратів».
2000 року Берлекемп написав про неї цілу книжку, The Dots-and-Boxes Game, з підзаголовком Sophisticated Child’s Play — «витончена дитяча гра». Кращого опису гри в один рядок не знайти.
Розв’язана комп’ютером, на одній дошці
Маленькі дошки можна перебрати до кінця. 2012 року Джозеф Баркер і Річард Корф з Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі розв’язали дошку 4×5 квадратів: за ідеальної гри обох сторін вона закінчується внічию, по 10 квадратів. Їхній програмі знадобилося близько дев’яти днів, і на той час це була найбільша розв’язана дошка цієї гри.
Нічия можлива лише за парної кількості квадратів. З дошок Duelto на 3×3 їх 9, а на 5×5 — 25, тож хтось завжди виграє; на 4×4 їх 16, і партія може закінчитися 8:8.
З великими дошками все інакше. 2021 року дослідники інформатики довели, що пошук ідеального ходу на дошці будь-якого розміру — PSPACE-повна задача; простіше кажучи, короткого шляху, який зробив би його легким, годі чекати.
Варіанти, які варто спробувати
Коли звичайна дошка перестане дивувати, змініть дошку:
- Шведська дошка: увесь зовнішній край малюють до початку гри, тож квадрати біля краю від самого початку на одну лінію ближчі до захоплення.
- Ісландська дошка: заздалегідь проводять лише дві зовнішні сторони, ліву й нижню.
- «Нитки й монети» (Strings and Coins): та сама гра, вивернута навиворіт. Монети з’єднані нитками, гравці по черзі перерізають по одній, а хто звільнив монету, забирає її й ріже знову. Грати можна на будь-якій мережі монет, не лише на сітці.
- Інші сітки: трикутники або шестикутники замість квадратів. Трикутник забирають третьою стороною, шестикутник — шостою.
- Прямокутники й більше гравців: правила без змін працюють на дошці будь-якої форми і з трьома гравцями.
Грайте без паперу
На Duelto грають на звичайній дошці, без заздалегідь проведених ліній, трьох розмірів. Зіграти в «Точки і квадрати» можна без акаунта: 3×3, 4×4 або 5×5, проти бота трьох рівнів або з другом по черзі на одному екрані, як на папері. З акаунтом «Точки і квадрати» онлайн йдуть у рейтинг на дошці 4×4 проти живих суперників.
Грайте в «Точки і квадрати» безкоштовно — проти бота або з другом