Puntos y cajas: el juego del cuaderno con historia de matemático
Juegos clásicos · · 3 min de lectura
Casi todo el mundo ha jugado a Puntos y cajas en la última página de un cuaderno, y casi nadie sabe de dónde viene. Su rastro es corto pero claro: un matemático francés en la década de 1880, un libro famoso sobre juegos matemáticos un siglo después y un ordenador que resolvió un tablero en 2012.
Este artículo sigue ese rastro, reúne los nombres del juego y describe las variantes que vale la pena probar cuando el tablero de siempre ya no sorprende.
Édouard Lucas y la pipopipette
La descripción más antigua que suele citarse es de Édouard Lucas (1842–1891), un matemático francés recordado por sus trabajos sobre los números primos y por inventar el rompecabezas de la Torre de Hanói. Llamó al juego la pipopipette. Las obras de referencia lo fechan en 1889, y Lucas lo describió en L’Arithmétique amusante, su libro de recreaciones matemáticas, publicado en 1895, después de su muerte.
Sus reglas son las que se siguen jugando: traza una línea entre dos puntos vecinos, y quien cierra una caja se la queda y vuelve a trazar. Nadie puede decir si los niños ya dibujaban cajas antes de que él lo escribiera. Un juego en el margen de un cuaderno no deja registros.
Un juego, muchos nombres
En inglés es Dots and Boxes, y también dots and dashes, game of dots, boxes o pigs in a pen, «cerdos en el corral». Otros idiomas lo nombran por lo que hay en el papel:
- Alemán: Käsekästchen, literalmente «cajitas de queso», dibujado en el papel cuadriculado del cuaderno escolar.
- Neerlandés: Kamertje verhuren, «alquilar habitaciones»: cada caja cerrada es una habitación para quien la cerró.
- Francés: la pipopipette en tiempos de Lucas, hoy casi siempre el juego de los cuadraditos, le jeu des petits carrés.
De un libro de pasatiempos a Winning Ways
El juego se convirtió en matemática seria en 1982, cuando Elwyn Berlekamp, John Conway y Richard Guy le dedicaron un capítulo de Winning Ways for your Mathematical Plays, su estudio de los juegos de dos jugadores. Ese capítulo expuso las cadenas, el double-cross y la regla de conteo que usan los buenos jugadores, las ideas de nuestra guía de estrategia de Puntos y cajas.
En 2000 Berlekamp le dedicó un libro entero, The Dots-and-Boxes Game, con el subtítulo Sophisticated Child’s Play, «un juego de niños sofisticado». No hay mejor descripción del juego en una línea.
Resuelto por ordenador, en un tablero
Los tableros pequeños se pueden explorar hasta el final. En 2012 Joseph Barker y Richard Korf, de la Universidad de California en Los Ángeles, resolvieron el tablero de 4×5 cajas: con juego perfecto por ambas partes termina en empate, 10 cajas cada uno. Su programa necesitó unos nueve días, y en ese momento era el tablero más grande del juego jamás resuelto.
Solo puede haber empate si el número de cajas es par. De los tableros de Duelto, 3×3 tiene 9 cajas y 5×5 tiene 25, así que siempre gana alguien; 4×4 tiene 16, y una partida puede terminar 8–8.
Los tableros grandes son otra cosa. En 2021 unos informáticos demostraron que encontrar la jugada perfecta en un tablero de cualquier tamaño es PSPACE-completo; dicho de forma sencilla, no se espera ningún atajo que lo haga fácil.
Variantes para probar
Cuando el tablero de siempre ya no te sorprenda, cambia el tablero:
- Tablero sueco: todo el borde exterior se traza antes de empezar, así que las cajas del borde empiezan a una línea menos de ser tomadas.
- Tablero islandés: solo se trazan de antemano dos lados exteriores, el izquierdo y el inferior.
- Cuerdas y monedas (Strings and Coins): el mismo juego del revés. Las monedas están unidas por cuerdas, por turnos se corta una, y quien libera una moneda se la queda y vuelve a cortar. Se puede jugar en cualquier red de monedas, no solo en una cuadrícula.
- Otras cuadrículas: triángulos o hexágonos en lugar de cuadrados. Un triángulo se toma con su tercer lado y un hexágono con el sexto.
- Rectángulos y más jugadores: las reglas funcionan igual en un tablero de cualquier forma y con tres jugadores.
Juega sin papel
Duelto usa el tablero de siempre, sin nada trazado de antemano, en tres tamaños. Puedes jugar a Puntos y cajas sin cuenta en 3×3, 4×4 o 5×5: contra el bot en tres niveles o con un amigo por turnos en la misma pantalla, como en papel. Con una cuenta, Puntos y cajas online se juega en 4×4 con puntuación contra rivales reales.