Як завжди вигравати у гру 21
Стратегія · · 4 хв читання
Гра у 21 — улюблена гра вчителів математики: 21 камінець, 21 сірник або лічба вголос до 21. Двоє гравців по черзі беруть один, два або три. Схоже на гру навмання, але це не так. Один із гравців може вигравати щоразу, і після одного короткого правила цим гравцем будете ви.
У цій статті — саме правило, пояснення, чому воно працює (складніше за ділення нічого не знадобиться), варіанти, у яких змінюється цільове число, і наприкінці та сама ідея для класичного Німу з кількома купками: цю гру математик повністю розв’язав 1901 року.
Правила
Покладіть у купку 21 камінець. Гравці по черзі беруть один, два або три камінці: ніколи нуль і ніколи більше трьох. Хто бере останній камінець, той виграє.
Варіант із лічбою — та сама гра в іншому вбранні. Гравці по черзі називають наступні одне, два або три числа: «1, 2», потім «3», потім «4, 5, 6». Хто скаже 21, той виграв. Назвати число — те саме, що взяти камінець, тож усе нижче підходить для обох варіантів.
Правило: залишайте число, кратне 4
Після кожного свого ходу залишайте в купці число камінців, яке ділиться на 4: 20, 16, 12, 8, 4 і наприкінці 0. Скільки б не взяв суперник, беріть решту до 4: він узяв 1 — ви берете 3; він узяв 2 — ви 2; він узяв 3 — ви 1. Кожен раунд забирає рівно чотири камінці, і останній дістається вам.
З 21 перший хід — узяти один камінець, лишається 20. Ось ціла партія, де ви ходите першим:
- Ви берете 1: лишається 20.
- Він бере 3, ви 1: лишається 16.
- Він бере 2, ви 2: лишається 12.
- Він бере 1, ви 3: лишається 8.
- Він бере 3, ви 1: лишається 4. Хоч що він тепер візьме, ви забираєте решту й виграєте.
Чому це працює
Рахуйте з кінця. Якщо лишилося 1, 2 або 3 камінці, той, чий хід, забирає все й виграє. Якщо лишилося рівно 4, той, чий хід, у глухому куті: будь-який хід лишає 1, 2 або 3, і виграє інший. Отже, 4 — програшне число. З 5, 6 або 7 можна лишити суперникові ці 4, тож вони виграшні, а 8 знову програшне: будь-який хід із 8 веде до 5, 6 або 7.
Візерунок повторюється кожні чотири камінці, бо раунд — його хід плюс ваш — завжди можна зробити рівним 4. Тому програшні числа — кратні 4, а виграшний хід — це остача від ділення купки на 4. 21 ÷ 4 дає остачу 1: візьміть один.
Коли правило проти вас
Якщо вам лишили число, кратне 4, виграшного ходу немає: проти того, хто знає правило, ви програєте. Тому беріть по одному камінцю й розтягуйте гру. Кожен зайвий хід — новий шанс для суперника помилитися, а однієї помилки досить: щойно він лишить число, не кратне 4, візьміть остачу, і правило на вашому боці.
Інші варіанти
Правило гнеться, але не ламається. Порахуйте, скільки камінців може забрати один повний раунд, і цільтеся в кратні цього числа:
- Можна брати від одного до k камінців, а не до трьох: лишайте число, кратне k + 1. За ліміту 5 лишайте 18, 12, 6 і 0.
- Останній камінець програє: лишайте на один більше, ніж кратне 4 (17, 13, 9, 5, 1), щоб останній камінець довелося взяти суперникові. Тут 21 уже таке число, тож виграє другий гравець.
- У варіанті з лічбою програє той, хто скаже 21: намагайтеся називати 4, 8, 12, 16 і 20. І тут другий гравець завжди може виграти.
Класичний Нім: та сама ідея у двійковій системі
У класичному Німі кілька купок, і за хід можна взяти скільки завгодно камінців з однієї купки. Рахувати з кінця вручну стає довго, але 1901 року математик із Гарварду Чарльз Бутон опублікував повний розв’язок і дав грі її назву.
Запишіть кожну купку як суму четвірок, двійок і одиниць: 7 = 4 + 2 + 1, 5 = 4 + 1, 3 = 2 + 1. Потім порахуйте, у скількох купках є 4, у скількох 2 і у скількох 1. Якщо кожне з цих чисел парне, той, чий хід, програє за точної гри суперника. Якщо бодай одне непарне, є хід, який знову робить їх усі парними: знайдіть його й зробіть.
Візьмімо відомий початок 3-5-7. Четвірки трапляються двічі (у 5 і 7), двійки двічі (у 3 і 7), одиниці тричі: непарно. Візьміть один камінець із купки 3, лишиться 2-5-7, і всі числа стануть парними. Математики називають це двійковою сумою купок; гра у 21 — випадок тієї самої теорії з однією купкою.
Тренуйтеся з ботом
Знати правило й застосовувати його під тиском — різні речі. На Duelto можна зіграти в Нім просто зараз, без акаунта: гра у 21, варіант зі змінним лімітом і класичні купки, проти бота трьох рівнів. Ви завжди ходите першим із позиції, яку можна виграти, тож навіть Складного бота, який ніколи не пропускає виграшного ходу, можна перемогти, якщо жодного разу не впустити кратне 4.
Якщо ви програли, бот покаже, у який момент усе пішло не так. Коли Складний бот впаде у грі 21, спробуйте Ліміт, потім Купки. А далі Нім онлайн іде в рейтинг: варіант і камінці обираються випадково, першим може ходити будь-хто з гравців, і кожен має 60 секунд на всю партію. Правило треба застосовувати не лише правильно, а й швидко.