21 oyununu her zaman nasıl kazanırsın
Strateji · · 3 dk okuma
21 oyunu matematik öğretmenlerinin sevdiği oyundur: 21 taş, 21 kibrit ya da yüksek sesle 21’e kadar saymak. İki oyuncu sırayla bir, iki ya da üç alır. Tahmin oyunu gibi görünür ama değildir. Oyunculardan biri her seferinde kazanabilir ve kısa bir kuraldan sonra o oyuncu sen olacaksın.
Bu yazıda kuralı, neden işlediğini (bölmeden zor bir şey gerekmiyor), hedef sayının değiştiği sürümleri ve sonunda birkaç yığınlı klasik Nim için aynı fikri bulacaksın. Bu oyunu bir matematikçi 1901’de tamamen çözdü.
Kurallar
Bir yığına 21 taş koy. Oyuncular sırayla bir, iki ya da üç taş alır: hiçbir zaman sıfır, hiçbir zaman üçten fazla değil. Son taşı alan kazanır.
Sayma sürümü aynı oyunun kılık değiştirmiş hâlidir. Oyuncular sırayla sonraki bir, iki ya da üç sayıyı söyler: “1, 2”, sonra “3”, sonra “4, 5, 6”. 21’i söyleyen kazanır. Bir sayı söylemek bir taş almaktır, yani aşağıdakilerin hepsi ikisi için de geçerlidir.
Kural: 4’ün katını bırak
Her hamlenden sonra yığında 4’e bölünen sayıda taş bırak: 20, 16, 12, 8, 4 ve sonunda 0. Rakip kaç alırsa sen 4’e tamamla: o 1 alırsa sen 3; o 2 alırsa sen 2; o 3 alırsa sen 1. Her tur tam dört taş götürür ve son taş senin olur.
21’den ilk hamle bir taş almaktır, 20 kalır. İşte senin başladığın bütün bir oyun:
- Sen 1 alırsın: 20 kalır.
- O 3 alır, sen 1: 16 kalır.
- O 2 alır, sen 2: 12 kalır.
- O 1 alır, sen 3: 8 kalır.
- O 3 alır, sen 1: 4 kalır. Şimdi o ne alırsa al, sen kalanı alıp kazanırsın.
Neden işliyor
Sondan geriye say. 1, 2 ya da 3 taş kaldığında sırası gelen hepsini alıp kazanır. Tam 4 kaldığında sırası gelen çıkmazdadır: her hamle 1, 2 ya da 3 bırakır ve diğer oyuncu kazanır. Yani 4, karşılaşılan kaybettiren bir sayıdır. 5, 6 ya da 7’den rakibine o 4’ü verebilirsin, yani bunlar kazandırır. 8 yine kaybettirir, çünkü 8’den her hamle 5, 6 ya da 7’ye düşer.
Bu düzen her dört taşta bir tekrarlanır, çünkü bir tur (onun hamlesi artı seninki) her zaman toplam 4 yapılabilir. Bu yüzden kaybettiren sayılar 4’ün katlarıdır ve kazandıran hamle, yığının 4’e bölümünden kalandır. 21 ÷ 4’ün kalanı 1’dir: bir taş al.
Kural sana karşı olduğunda
Sana 4’ün katı bırakıldıysa kazandıran hamle yoktur: kuralı bilen birine kaybedersin. O yüzden tek taş al ve oyunu uzat. Her ek hamle rakibin hata yapması için yeni bir şanstır ve tek hata yeter: 4’ün katı olmayan bir sayı bıraktığı anda kalanı al, kural artık senindir.
Diğer sürümler
Kural esner ama kırılmaz. Bir tam turun kaç taş götürebileceğini bul ve onun katlarını hedefle:
- Birden üçe değil, birden k’ye kadar alınıyorsa: k + 1’in katını bırak. Sınır 5 ise 18, 12, 6 ve 0 bırak.
- Son taşı alan kaybeder: 4’ün katından bir fazlasını bırak (17, 13, 9, 5, 1), böylece son taşı rakip almak zorunda kalsın. Burada 21 zaten böyle bir sayıdır, yani ikinci oyuncu kazanır.
- Sayma sürümünde 21’i söyleyen kaybeder: 4, 8, 12, 16 ve 20’yi söylemeye çalış. Burada da ikinci oyuncu her zaman kazanabilir.
Klasik Nim: aynı fikir ikili sayılarla
Klasik Nim’de birkaç yığın vardır ve bir hamle tek bir yığından istediğin kadar taş alır. Elle geriye saymak yavaşlar, ama 1901’de Harvard’lı matematikçi Charles Bouton tam cevabı yayımladı ve oyuna adını verdi.
Her yığını 4, 2 ve 1’lerin toplamı olarak yaz: 7 = 4 + 2 + 1, 5 = 4 + 1, 3 = 2 + 1. Sonra kaç yığında 4, kaçında 2, kaçında 1 olduğunu say. Her sayı çiftse, sırası gelen oyuncu kusursuz oynayan rakibe kaybeder. Herhangi biri tekse, hepsini yeniden çift yapan bir hamle vardır: onu bul ve oyna.
Bilinen 3-5-7 başlangıcını alalım. 4’ler iki kez var (5 ve 7’de), 2’ler iki kez (3 ve 7’de), 1’ler üç kez: tek. 3’lük yığından bir taş al, 2-5-7 kalır ve her sayı çift olur. Matematikçiler buna yığınların ikili toplamı der; 21 oyunu aynı teorinin tek yığınlı hâlidir.
Bota karşı pratik yap
Kuralı bilmek ile onu baskı altında uygulamak farklı şeylerdir. Duelto’da Nim’i hemen şimdi, hesapsız oynayabilirsin: 21 oyunu, değişen sınırlı sürüm ve klasik yığınlar, üç seviyeli bir bota karşı. Her zaman kazanılabilir bir konumdan ilk sen başlarsın, bu yüzden kazandıran hamleyi asla kaçırmayan Zor bot bile yenilebilir, yeter ki 4’ün katını elinden kaçırma.
Kaybedersen bot oyunun nerede bozulduğunu gösterir. 21 oyununda Zor bot düştükten sonra Sınır’ı, sonra Yığınlar’ı dene. Ardından çevrim içi Nim puanlıdır: sürüm ve taşlar rastgele çekilir, iki oyuncudan biri başlayabilir ve her birinin bütün oyun için 60 saniyesi vardır. Yani kural hem doğru hem hızlı uygulanmalı.