Как всегда выигрывать в игру 21
Стратегия · · 4 мин чтения
Игра в 21 — любимая игра учителей математики: 21 камень, 21 спичка или счёт вслух до 21. Два игрока по очереди берут один, два или три. Похоже на игру на угадывание, но это не так. Один из игроков может выигрывать каждый раз, и после одного короткого правила этим игроком будете вы.
В этой статье — само правило, объяснение, почему оно работает (сложнее деления ничего не понадобится), варианты, в которых меняется целевое число, и в конце та же идея для классического Нима с несколькими кучками: эту игру математик полностью решил в 1901 году.
Правила
Положите в кучку 21 камень. Игроки по очереди берут один, два или три камня: никогда ноль и никогда больше трёх. Кто берёт последний камень, тот выигрывает.
Вариант со счётом — та же игра в другой одежде. Игроки по очереди называют следующие одно, два или три числа: «1, 2», потом «3», потом «4, 5, 6». Кто скажет 21, тот выиграл. Назвать число — значит взять камень, поэтому всё, что ниже, подходит для обоих вариантов.
Правило: оставляйте число, кратное 4
После каждого своего хода оставляйте в кучке число камней, которое делится на 4: 20, 16, 12, 8, 4 и в конце 0. Сколько бы ни взял соперник, берите остаток до 4: он взял 1 — вы берёте 3; он взял 2 — вы 2; он взял 3 — вы 1. Каждый раунд убирает ровно четыре камня, и последний камень достаётся вам.
Из 21 первый ход — взять один камень, остаётся 20. Вот целая партия, где вы ходите первым:
- Вы берёте 1: остаётся 20.
- Он берёт 3, вы 1: остаётся 16.
- Он берёт 2, вы 2: остаётся 12.
- Он берёт 1, вы 3: остаётся 8.
- Он берёт 3, вы 1: остаётся 4. Что бы он теперь ни взял, вы забираете остальное и выигрываете.
Почему это работает
Считайте с конца. Если осталось 1, 2 или 3 камня, тот, чей ход, забирает всё и выигрывает. Если осталось ровно 4, тот, чей ход, в тупике: любой ход оставляет 1, 2 или 3, и выигрывает другой. Значит, 4 — проигрышное число. Из 5, 6 или 7 можно оставить сопернику эти 4, поэтому они выигрышные, а 8 снова проигрышное: любой ход из 8 приводит к 5, 6 или 7.
Узор повторяется каждые четыре камня, потому что раунд — его ход плюс ваш — всегда можно сделать равным 4. Поэтому проигрышные числа — кратные 4, а выигрышный ход — это остаток от деления кучки на 4. 21 ÷ 4 даёт остаток 1: возьмите один.
Когда правило против вас
Если вам оставили число, кратное 4, выигрышного хода нет: против того, кто знает правило, вы проиграете. Поэтому берите по одному камню и растягивайте игру. Каждый лишний ход — новый шанс для соперника ошибиться, а одной ошибки достаточно: как только он оставит число, не кратное 4, возьмите остаток, и правило на вашей стороне.
Другие варианты
Правило гнётся, но не ломается. Посчитайте, сколько камней может убрать один полный раунд, и целитесь в кратные этому числу:
- Можно брать от одного до k камней, а не до трёх: оставляйте число, кратное k + 1. При лимите 5 оставляйте 18, 12, 6 и 0.
- Последний камень проигрывает: оставляйте на один больше, чем кратное 4 (17, 13, 9, 5, 1), чтобы последний камень пришлось взять сопернику. Здесь 21 уже такое число, поэтому выигрывает второй игрок.
- В варианте со счётом проигрывает тот, кто скажет 21: старайтесь называть 4, 8, 12, 16 и 20. И здесь второй игрок всегда может выиграть.
Классический Ним: та же идея в двоичной системе
В классическом Ниме несколько кучек, и за ход можно взять сколько угодно камней из одной кучки. Считать с конца вручную становится долго, но в 1901 году математик из Гарварда Чарльз Бутон опубликовал полное решение и дал игре её имя.
Запишите каждую кучку как сумму четвёрок, двоек и единиц: 7 = 4 + 2 + 1, 5 = 4 + 1, 3 = 2 + 1. Потом посчитайте, в скольких кучках есть 4, в скольких 2 и в скольких 1. Если каждое из этих чисел чётное, тот, чей ход, проиграет при точной игре соперника. Если хоть одно нечётное, есть ход, который снова делает их все чётными: найдите его и сделайте.
Возьмём известное начало 3-5-7. Четвёрки встречаются дважды (в 5 и 7), двойки дважды (в 3 и 7), единицы трижды: нечётно. Возьмите один камень из кучки 3, останется 2-5-7, и все числа станут чётными. Математики называют это двоичной суммой кучек; игра в 21 — случай той же теории с одной кучкой.
Тренируйтесь с ботом
Знать правило и применять его под давлением — разные вещи. На Duelto можно сыграть в Ним прямо сейчас, без аккаунта: игра в 21, вариант с меняющимся лимитом и классические кучки, против бота трёх уровней. Вы всегда ходите первым из позиции, которую можно выиграть, поэтому даже Сложного бота, который никогда не пропускает выигрышный ход, можно победить, если ни разу не упустить кратное 4.
Если вы проиграли, бот покажет, в какой момент всё пошло не так. Когда Сложный бот падёт в игре 21, попробуйте Лимит, потом Кучки. А дальше Ним онлайн идёт в рейтинг: вариант и камни выбираются случайно, первым может ходить любой из игроков, и у каждого 60 секунд на всю партию. Правило нужно применять не только верно, но и быстро.