«Точки и квадраты»: тетрадная игра с математической историей
Классические игры · · 3 мин чтения
Почти все играли в «Точки и квадраты» на последней странице тетради, и почти никто не знает, откуда эта игра. След у неё короткий, но ясный: французский математик в 1880-х, знаменитая книга о математических играх век спустя и компьютер, который в 2012 году до конца решил одну доску.
Эта статья идёт по этому следу, собирает названия игры и описывает варианты, которые стоит попробовать, когда обычная доска перестанет удивлять.
Эдуард Люка и la pipopipette
Самое раннее описание, на которое обычно ссылаются, принадлежит Эдуарду Люка (1842–1891), французскому математику, известному работами о простых числах и тем, что он придумал головоломку «Ханойская башня». Он назвал игру la pipopipette. Справочники относят её к 1889 году, а Люка описал её в книге математических развлечений L’Arithmétique amusante, которая вышла в 1895 году, уже после его смерти.
Его правила играют до сих пор: проведите линию между двумя соседними точками, а кто замкнул квадрат, забирает его и ходит ещё раз. Рисовали ли дети квадраты до того, как он записал игру, сказать никто не может. Игра на полях тетради следов не оставляет.
Одна игра, много названий
По-английски это Dots and Boxes, а ещё dots and dashes, game of dots, boxes или pigs in a pen, «свиньи в загоне». Другие языки называют её по тому, что видно на бумаге:
- Немецкий: Käsekästchen, дословно «сырные клеточки»; её рисуют на клетчатой бумаге школьной тетради.
- Нидерландский: Kamertje verhuren, «сдавать комнаты»: каждый замкнутый квадрат становится комнатой того, кто его замкнул.
- Французский: la pipopipette во времена Люка, а сегодня обычно игра в маленькие квадраты, le jeu des petits carrés.
От книги головоломок к Winning Ways
Серьёзной математикой игра стала в 1982 году, когда Элвин Берлекэмп, Джон Конвей и Ричард Гай посвятили ей главу книги Winning Ways for your Mathematical Plays, своего исследования игр для двоих. В этой главе изложены цепочки, double-cross и правило подсчёта, которыми пользуются сильные игроки, — идеи из нашего руководства по стратегии «Точек и квадратов».
В 2000 году Берлекэмп написал о ней целую книгу, The Dots-and-Boxes Game, с подзаголовком Sophisticated Child’s Play — «изощрённая детская игра». Лучшего описания игры в одну строку не найти.
Решена компьютером, на одной доске
Маленькие доски можно перебрать до конца. В 2012 году Джозеф Баркер и Ричард Корф из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе решили доску 4×5 квадратов: при идеальной игре обеих сторон она заканчивается вничью, по 10 квадратов. Их программе понадобилось около девяти дней, и на тот момент это была самая большая решённая доска этой игры.
Ничья возможна только при чётном числе квадратов. Из досок Duelto на 3×3 их 9, а на 5×5 — 25, так что кто-то всегда выигрывает; на 4×4 их 16, и партия может закончиться 8:8.
С большими досками всё иначе. В 2021 году специалисты по информатике доказали, что поиск идеального хода на доске любого размера — PSPACE-полная задача; проще говоря, короткого пути, который сделал бы его лёгким, ждать не приходится.
Варианты, которые стоит попробовать
Когда обычная доска перестанет удивлять, смените доску:
- Шведская доска: весь внешний край рисуют до начала игры, поэтому квадраты у края с самого начала на одну линию ближе к захвату.
- Исландская доска: заранее проводят только две внешние стороны, левую и нижнюю.
- «Нити и монеты» (Strings and Coins): та же игра, вывернутая наизнанку. Монеты связаны нитями, игроки по очереди перерезают по одной, а кто освободил монету, забирает её и режет снова. Играть можно на любой сети монет, не только на сетке.
- Другие сетки: треугольники или шестиугольники вместо квадратов. Треугольник забирают третьей стороной, шестиугольник — шестой.
- Прямоугольники и больше игроков: правила без изменений работают на доске любой формы и с тремя игроками.
Играйте без бумаги
На Duelto играют на обычной доске, без заранее проведённых линий, трёх размеров. Сыграть в «Точки и квадраты» можно без аккаунта: 3×3, 4×4 или 5×5, против бота трёх уровней или с другом по очереди на одном экране, как на бумаге. С аккаунтом «Точки и квадраты» онлайн идут в рейтинг на доске 4×4 против живых соперников.
Играйте в «Точки и квадраты» бесплатно — против бота или с другом