Como ganhar sempre no jogo do 21
Estratégia · · 4 min de leitura
O jogo do 21 é o queridinho dos professores de matemática: 21 pedras, 21 palitos ou contar em voz alta até 21, com dois jogadores que se revezam pegando uma, duas ou três. Parece um jogo de adivinhação. Não é. Um dos jogadores pode ganhar todas as vezes, e depois de uma regra curta esse jogador vai ser você.
Este artigo dá a regra, mostra por que ela funciona sem nada mais difícil do que uma divisão, passa pelas versões em que o número-alvo muda e termina com a mesma ideia para o Nim clássico com vários montes, o jogo que um matemático resolveu por completo em 1901.
As regras
Coloque 21 pedras num monte. Os jogadores se revezam tirando uma, duas ou três pedras: nunca nenhuma e nunca mais de três. Quem pega a última pedra ganha.
A versão de contar é o mesmo jogo disfarçado. Os jogadores se revezam dizendo os próximos um, dois ou três números (“1, 2”, depois “3”, depois “4, 5, 6”), e quem disser 21 ganha. Dizer um número é pegar uma pedra, então tudo o que vem a seguir vale para as duas.
A regra: deixe um múltiplo de 4
Depois de cada jogada sua, deixe um número de pedras divisível por 4: 20, 16, 12, 8, 4 e, no fim, 0. O que o adversário pegar, você completa até 4: se ele pegar 1, você pega 3; se pegar 2, você pega 2; se pegar 3, você pega 1. Cada rodada tira exatamente quatro pedras, e a última é sua.
Partindo de 21, a primeira jogada é pegar uma pedra e deixar 20. Veja uma partida inteira em que você começa:
- Você pega 1: sobram 20.
- Ele pega 3, você 1: sobram 16.
- Ele pega 2, você 2: sobram 12.
- Ele pega 1, você 3: sobram 8.
- Ele pega 3, você 1: sobram 4. O que ele pegar agora, você pega o resto e ganha.
Por que funciona
Conte de trás para a frente. Com 1, 2 ou 3 pedras, quem tem a vez pega todas e ganha. Com exatamente 4, quem tem a vez está preso: qualquer jogada deixa 1, 2 ou 3, e o outro ganha. Então 4 é um número perdedor. De 5, 6 ou 7 você pode deixar esse 4 para o adversário, então eles são vencedores, e 8 volta a ser perdedor, porque qualquer jogada a partir de 8 cai em 5, 6 ou 7.
O padrão se repete a cada quatro pedras, porque uma rodada (a jogada dele mais a sua) sempre pode somar 4. Por isso os números perdedores são os múltiplos de 4, e a jogada vencedora é o resto da divisão do monte por 4. 21 ÷ 4 deixa resto 1: pegue uma.
Quando a regra joga contra você
Se deixarem um múltiplo de 4 para você, não existe jogada vencedora: contra quem conhece a regra, você vai perder. Então pegue uma pedra só e estique a partida. Cada vez a mais é outra chance de o adversário errar, e um erro basta: assim que ele deixar um número que não seja múltiplo de 4, pegue o resto e a regra passa a ser sua.
Outras versões
A regra entorta, mas não quebra. Calcule quantas pedras uma rodada completa pode tirar e mire nos múltiplos desse número:
- Pode-se pegar de uma a k pedras em vez de uma a três: deixe um múltiplo de k + 1. Com limite 5, deixe 18, 12, 6 e 0.
- Quem pega a última pedra perde: deixe um a mais que um múltiplo de 4 (17, 13, 9, 5, 1), para que o adversário seja obrigado a pegar a última. Aqui 21 já é um desses números, então quem ganha é o segundo jogador.
- Na versão de contar, quem disser 21 perde: tente dizer 4, 8, 12, 16 e 20. Aqui também o segundo jogador sempre pode ganhar.
O Nim clássico: a mesma ideia em binário
No Nim clássico há vários montes, e uma jogada tira quantas pedras quiser de um único monte. Contar de trás para a frente à mão fica lento, mas em 1901 o matemático de Harvard Charles Bouton publicou a solução completa e deu nome ao jogo.
Escreva cada monte como soma de 4, 2 e 1: 7 é 4 + 2 + 1, 5 é 4 + 1, 3 é 2 + 1. Depois conte quantos montes têm um 4, quantos têm um 2 e quantos têm um 1. Se todas as contagens forem pares, quem tem a vez perde contra um jogo perfeito. Se alguma for ímpar, existe uma jogada que deixa todas pares de novo: encontre-a e jogue.
Pegue o conhecido início 3-5-7. O 4 aparece duas vezes (em 5 e 7), o 2 duas vezes (em 3 e 7), o 1 três vezes: ímpar. Tire uma pedra do monte de 3 e você deixa 2-5-7, em que todas as contagens são pares. Os matemáticos chamam isso de soma binária dos montes; o jogo do 21 é o caso de um único monte da mesma teoria.
Treine contra o bot
Saber a regra e usá-la sob pressão são coisas diferentes. No Duelto você pode jogar Nim agora mesmo, sem conta: o jogo do 21, uma versão com limite variável e os montes clássicos, contra um bot de três níveis. Você sempre começa, numa posição que dá para ganhar, então até o bot Difícil, que nunca deixa passar uma jogada vencedora, pode ser derrotado, desde que você nunca solte o múltiplo de 4.
Se perder, o bot mostra o momento em que a partida virou. Quando o Difícil cair no jogo do 21, tente Limite e depois Montes. Em seguida, o Nim online vale para o ranking: a versão e as pedras são sorteadas, qualquer um dos jogadores pode começar e cada um tem 60 segundos para a partida inteira. A regra precisa sair rápida, além de certa.
Jogue Nim de graça, contra o bot ou um adversário de verdade