Jak zawsze wygrywać w grę w 21
Strategia · · 4 min czytania
Gra w 21 to ulubiona gra nauczycieli matematyki: 21 kamieni, 21 zapałek albo liczenie na głos do 21, a dwóch graczy na zmianę bierze jeden, dwa lub trzy. Wygląda na grę w zgadywanie. Nie jest nią. Jeden z graczy może wygrywać za każdym razem, a po jednej krótkiej zasadzie tym graczem będziesz ty.
Ten artykuł podaje zasadę, pokazuje, dlaczego działa, bez niczego trudniejszego niż dzielenie, omawia warianty, w których zmienia się liczba docelowa, i kończy się tą samą myślą dla klasycznego Nima z kilkoma stosami: grą, którą matematyk rozwiązał całkowicie w 1901 roku.
Zasady
Ułóż 21 kamieni w stos. Gracze na zmianę zabierają jeden, dwa lub trzy kamienie: nigdy zero i nigdy więcej niż trzy. Kto weźmie ostatni kamień, wygrywa.
Wersja z liczeniem to ta sama gra w przebraniu. Gracze na zmianę mówią kolejne jedną, dwie lub trzy liczby („1, 2”, potem „3”, potem „4, 5, 6”), a kto powie 21, wygrywa. Powiedzieć liczbę to wziąć kamień, więc wszystko poniżej dotyczy obu wersji.
Zasada: zostawiaj wielokrotność 4
Po każdym swoim ruchu zostaw liczbę kamieni podzielną przez 4: 20, 16, 12, 8, 4 i na końcu 0. Cokolwiek weźmie przeciwnik, ty dopełniasz do 4: on bierze 1, ty 3; on bierze 2, ty 2; on bierze 3, ty 1. Każda runda zabiera dokładnie cztery kamienie, a ostatni jest twój.
Przy 21 pierwszy ruch to wziąć jeden kamień i zostawić 20. Oto cała partia, w której zaczynasz ty:
- Bierzesz 1: zostaje 20.
- On bierze 3, ty 1: zostaje 16.
- On bierze 2, ty 2: zostaje 12.
- On bierze 1, ty 3: zostaje 8.
- On bierze 3, ty 1: zostają 4. Cokolwiek teraz weźmie, ty zabierasz resztę i wygrywasz.
Dlaczego to działa
Licz od końca. Przy 1, 2 lub 3 kamieniach gracz, który ma ruch, zabiera wszystkie i wygrywa. Przy dokładnie 4 gracz, który ma ruch, jest w pułapce: każdy ruch zostawia 1, 2 lub 3, i wygrywa drugi. Czyli 4 to liczba przegrywająca. Z 5, 6 lub 7 możesz zostawić przeciwnikowi te 4, więc to liczby wygrywające, a 8 znowu przegrywa, bo każdy ruch z 8 prowadzi do 5, 6 lub 7.
Wzór powtarza się co cztery kamienie, bo runda (jego ruch plus twój) zawsze może dać razem 4. Dlatego liczby przegrywające to wielokrotności 4, a ruch wygrywający to reszta z dzielenia stosu przez 4. 21 ÷ 4 daje resztę 1: weź jeden.
Gdy zasada działa przeciwko tobie
Jeśli zostawiono ci wielokrotność 4, nie ma ruchu wygrywającego: z kimś, kto zna zasadę, przegrasz. Bierz więc po jednym kamieniu i przeciągaj grę. Każdy dodatkowy ruch to kolejna szansa, że przeciwnik się pomyli, a jedna pomyłka wystarczy: gdy tylko zostawi liczbę, która nie jest wielokrotnością 4, weź resztę i zasada jest twoja.
Inne warianty
Zasada się ugina, ale nie łamie. Policz, ile kamieni może zabrać jedna pełna runda, i celuj w jej wielokrotności:
- Można brać od jednego do k kamieni zamiast od jednego do trzech: zostawiaj wielokrotność k + 1. Przy limicie 5 zostawiaj 18, 12, 6 i 0.
- Ostatni kamień przegrywa: zostawiaj o jeden więcej niż wielokrotność 4 (17, 13, 9, 5, 1), żeby przeciwnik musiał wziąć ostatni. Tu 21 już jest taką liczbą, więc wygrywa drugi gracz.
- W wersji z liczeniem przegrywa ten, kto powie 21: staraj się mówić 4, 8, 12, 16 i 20. Także tu drugi gracz zawsze może wygrać.
Klasyczny Nim: ta sama myśl w systemie dwójkowym
W klasycznym Nimie jest kilka stosów, a ruch zabiera dowolną liczbę kamieni z jednego stosu. Liczenie od końca na palcach robi się powolne, ale w 1901 roku matematyk z Harvardu Charles Bouton opublikował pełne rozwiązanie i nadał grze nazwę.
Zapisz każdy stos jako sumę czwórek, dwójek i jedynek: 7 to 4 + 2 + 1, 5 to 4 + 1, 3 to 2 + 1. Potem policz, w ilu stosach jest 4, w ilu 2, a w ilu 1. Jeśli każda z tych liczb jest parzysta, gracz, który ma ruch, przegrywa z bezbłędnym przeciwnikiem. Jeśli któraś jest nieparzysta, istnieje ruch, który znów czyni je wszystkie parzystymi: znajdź go i zagraj.
Weźmy znany początek 3-5-7. Czwórka występuje dwa razy (w 5 i 7), dwójka dwa razy (w 3 i 7), jedynka trzy razy: nieparzyście. Zabierz jeden kamień ze stosu 3, a zostanie 2-5-7, gdzie każda liczba jest parzysta. Matematycy nazywają to dwójkową sumą stosów; gra w 21 to przypadek tej samej teorii z jednym stosem.
Poćwicz z botem
Znać zasadę i stosować ją pod presją to dwie różne rzeczy. Na Duelto możesz zagrać w Nima od razu, bez konta: gra w 21, wariant ze zmiennym limitem i klasyczne stosy, przeciwko botowi na trzech poziomach. Zawsze zaczynasz ty, z pozycji, którą da się wygrać, więc nawet bota Trudnego, który nigdy nie przepuszcza ruchu wygrywającego, można pokonać, jeśli ani razu nie wypuścisz wielokrotności 4.
Gdy przegrasz, bot pokaże moment, w którym partia się odwróciła. Kiedy Trudny padnie w grze w 21, spróbuj Limitu, potem Stosów. Dalej Nim online liczy się do rankingu: wariant i kamienie są losowane, zacząć może każdy z graczy, a każdy ma 60 sekund na całą partię. Zasada musi więc działać szybko, a nie tylko poprawnie.