Hoe je het 21-spel altijd wint
Strategie · · 4 min lezen
Het 21-spel is een lievelingetje van wiskundeleraren: 21 stenen, 21 lucifers of hardop tellen tot 21, met twee spelers die om de beurt één, twee of drie pakken. Het lijkt een gokspel. Dat is het niet. Eén speler kan elke keer winnen, en na één korte regel ben jij die speler.
Dit artikel geeft de regel, laat zien waarom hij werkt met niets moeilijkers dan delen, bespreekt de varianten waarin het doelgetal verandert en eindigt met hetzelfde idee voor klassiek Nim met meerdere stapels: het spel dat een wiskundige in 1901 volledig oploste.
De regels
Leg 21 stenen op een stapel. De spelers halen om de beurt één, twee of drie stenen weg: nooit nul en nooit meer dan drie. Wie de laatste steen pakt, wint.
De telversie is hetzelfde spel in vermomming. De spelers zeggen om de beurt de volgende één, twee of drie getallen (“1, 2”, dan “3”, dan “4, 5, 6”) en wie 21 zegt, wint. Een getal zeggen is een steen pakken, dus alles hieronder geldt voor allebei.
De regel: laat een viervoud liggen
Laat na elke zet een aantal stenen liggen dat deelbaar is door 4: 20, 16, 12, 8, 4 en ten slotte 0. Wat je tegenstander ook pakt, jij vult aan tot 4: pakt hij 1, dan pak jij 3; pakt hij 2, dan jij 2; pakt hij 3, dan jij 1. Elke ronde verdwijnen er precies vier stenen, en de laatste is voor jou.
Vanaf 21 is de eerste zet één steen pakken, zodat er 20 liggen. Hier een hele partij waarin jij begint:
- Jij pakt 1: er liggen er 20.
- Hij pakt 3, jij 1: er liggen er 16.
- Hij pakt 2, jij 2: er liggen er 12.
- Hij pakt 1, jij 3: er liggen er 8.
- Hij pakt 3, jij 1: er liggen er 4. Wat hij nu ook pakt, jij neemt de rest en wint.
Waarom het werkt
Tel terug vanaf het einde. Bij 1, 2 of 3 stenen pakt de speler die aan zet is alles en wint. Bij precies 4 zit de speler aan zet vast: elke zet laat 1, 2 of 3 liggen, en de ander wint. Dus 4 is een verliesgetal. Vanaf 5, 6 of 7 kun je je tegenstander die 4 geven, dus dat zijn winstgetallen, en 8 is weer verlies, want elke zet vanaf 8 komt uit op 5, 6 of 7.
Het patroon herhaalt zich elke vier stenen, omdat een ronde (zijn zet plus de jouwe) altijd op 4 kan uitkomen. Daarom zijn de verliesgetallen de viervouden, en is de winnende zet de rest bij deling van de stapel door 4. 21 ÷ 4 geeft rest 1: pak er één.
Als de regel tegen je werkt
Krijg je een viervoud voor je neus, dan is er geen winnende zet: tegen iemand die de regel kent, verlies je. Pak dus één steen en rek de partij op. Elke extra beurt is een nieuwe kans dat de ander zich vergist, en één vergissing is genoeg: zodra hij een getal laat liggen dat geen viervoud is, pak je de rest en is de regel van jou.
Andere varianten
De regel buigt, maar breekt nooit. Reken uit hoeveel stenen één volle ronde kan weghalen, en mik op de veelvouden daarvan:
- Je mag één tot k stenen pakken in plaats van één tot drie: laat een veelvoud van k + 1 liggen. Met een limiet van 5 laat je 18, 12, 6 en 0 liggen.
- Wie de laatste steen pakt, verliest: laat één meer dan een viervoud liggen (17, 13, 9, 5, 1), zodat je tegenstander de laatste moet pakken. Hier is 21 al zo’n getal, dus wint de tweede speler.
- In de telversie verliest wie 21 zegt: probeer 4, 8, 12, 16 en 20 te zeggen. Ook hier kan de tweede speler altijd winnen.
Klassiek Nim: hetzelfde idee in binair
In klassiek Nim zijn er meerdere stapels, en een zet haalt zoveel stenen als je wilt van één stapel. Met de hand terugtellen wordt traag, maar in 1901 publiceerde de Harvard-wiskundige Charles Bouton de volledige oplossing en gaf hij het spel zijn naam.
Schrijf elke stapel als een som van vieren, tweeën en enen: 7 is 4 + 2 + 1, 5 is 4 + 1, 3 is 2 + 1. Tel daarna hoeveel stapels een 4 bevatten, hoeveel een 2 en hoeveel een 1. Is elke telling even, dan verliest de speler aan zet tegen perfect spel. Is er een oneven, dan bestaat er een zet die ze weer allemaal even maakt: zoek hem en speel hem.
Neem de bekende start 3-5-7. De 4 komt twee keer voor (in 5 en 7), de 2 twee keer (in 3 en 7), de 1 drie keer: oneven. Haal één steen van de stapel van 3 en je laat 2-5-7 liggen, waar elke telling even is. Wiskundigen noemen dit de binaire som van de stapels; het 21-spel is het geval met één stapel van dezelfde theorie.
Oefen het tegen de bot
De regel kennen en hem onder druk toepassen zijn twee verschillende dingen. Op Duelto kun je Nim meteen spelen, zonder account: het 21-spel, een variant met een wisselende limiet en klassieke stapels, tegen een bot op drie niveaus. Jij begint altijd, vanuit een stand die te winnen is, dus zelfs de bot op Moeilijk, die nooit een winnende zet mist, is te verslaan, zolang je het viervoud nooit laat glippen.
Verlies je, dan laat de bot zien op welk moment het misging. Valt Moeilijk in het 21-spel, probeer dan Limiet en daarna Stapels. Daarna telt Nim online mee voor je rating: de variant en de stenen worden willekeurig gekozen, elke speler kan beginnen en ieder heeft 60 seconden voor de hele partij. De regel moet dus snel zitten, niet alleen goed.