Comment toujours gagner au jeu du 21
Stratégie · · 5 min de lecture
Le jeu du 21 est le chouchou des profs de maths : 21 pierres, 21 allumettes ou compter à voix haute jusqu’à 21, deux joueurs prenant tour à tour une, deux ou trois. On dirait un jeu de devinette. Ce n’en est pas un. L’un des joueurs peut gagner à chaque fois, et après une règle très courte, ce joueur, ce sera toi.
Cet article donne la règle, montre pourquoi elle marche avec rien de plus difficile qu’une division, passe en revue les variantes où le nombre cible change, et finit par la même idée pour le Nim classique à plusieurs tas, le jeu qu’un mathématicien a entièrement résolu en 1901.
Les règles
Mets 21 pierres en un tas. Les joueurs retirent à tour de rôle une, deux ou trois pierres : jamais zéro, jamais plus de trois. Celui qui prend la dernière pierre gagne.
La version où l’on compte est le même jeu déguisé. Les joueurs annoncent à tour de rôle les un, deux ou trois nombres suivants (« 1, 2 », puis « 3 », puis « 4, 5, 6 »), et celui qui dit 21 gagne. Dire un nombre revient à prendre une pierre, donc tout ce qui suit vaut pour les deux.
La règle : laisse un multiple de 4
Après chacun de tes coups, laisse un nombre de pierres divisible par 4 : 20, 16, 12, 8, 4 et enfin 0. Quoi que prenne ton adversaire, tu complètes jusqu’à 4 : s’il prend 1, tu prends 3 ; s’il prend 2, tu prends 2 ; s’il prend 3, tu prends 1. Chaque tour retire exactement quatre pierres, et la dernière est pour toi.
À partir de 21, le premier coup consiste à prendre une pierre pour en laisser 20. Voici une partie entière où tu commences :
- Tu prends 1 : il en reste 20.
- Il prend 3, tu prends 1 : il en reste 16.
- Il prend 2, tu prends 2 : il en reste 12.
- Il prend 1, tu prends 3 : il en reste 8.
- Il prend 3, tu prends 1 : il en reste 4. Quoi qu’il prenne maintenant, tu prends le reste et tu gagnes.
Pourquoi ça marche
Compte à rebours depuis la fin. Avec 1, 2 ou 3 pierres, le joueur dont c’est le tour prend tout et gagne. Avec exactement 4, le joueur dont c’est le tour est coincé : tout coup laisse 1, 2 ou 3, et l’autre gagne. Donc 4 est un nombre perdant. Depuis 5, 6 ou 7, tu peux laisser ce 4 à ton adversaire, donc ce sont des nombres gagnants, et 8 est de nouveau perdant, car tout coup depuis 8 tombe sur 5, 6 ou 7.
Le motif se répète toutes les quatre pierres, parce qu’un tour (son coup plus le tien) peut toujours faire 4. Voilà pourquoi les nombres perdants sont les multiples de 4, et pourquoi le coup gagnant est le reste de la division du tas par 4. 21 ÷ 4 laisse un reste de 1 : prends-en une.
Quand la règle joue contre toi
Si on te laisse un multiple de 4, il n’y a pas de coup gagnant : contre quelqu’un qui connaît la règle, tu perdras. Prends donc une seule pierre et fais durer la partie. Chaque coup en plus est une chance de plus que l’autre se trompe, et une erreur suffit : dès qu’il laisse un nombre qui n’est pas un multiple de 4, prends le reste, et la règle est à toi.
Les autres variantes
La règle plie mais ne rompt pas. Calcule combien de pierres un tour complet peut retirer, et vise ses multiples :
- On peut prendre de une à k pierres au lieu de une à trois : laisse un multiple de k + 1. Avec une limite de 5, laisse 18, 12, 6 et 0.
- Qui prend la dernière pierre perd : laisse un de plus qu’un multiple de 4 (17, 13, 9, 5, 1) pour que ton adversaire soit obligé de prendre la dernière. Ici, 21 est déjà un tel nombre, donc c’est le deuxième joueur qui gagne.
- Dans la version où l’on compte, celui qui dit 21 perd : essaie de dire 4, 8, 12, 16 et 20. Là aussi, le deuxième joueur peut toujours gagner.
Le Nim classique : la même idée en binaire
Dans le Nim classique, il y a plusieurs tas, et un coup retire autant de pierres qu’on veut d’un seul tas. Compter à rebours à la main devient long, mais en 1901 le mathématicien de Harvard Charles Bouton a publié la solution complète et donné son nom au jeu.
Écris chaque tas comme une somme de 4, de 2 et de 1 : 7 = 4 + 2 + 1, 5 = 4 + 1, 3 = 2 + 1. Puis compte combien de tas contiennent un 4, combien un 2 et combien un 1. Si chaque compte est pair, le joueur dont c’est le tour perd contre un jeu parfait. Si l’un est impair, il existe un coup qui les rend tous pairs à nouveau : trouve-le et joue-le.
Prends le départ bien connu 3-5-7. Le 4 apparaît deux fois (dans 5 et 7), le 2 deux fois (dans 3 et 7), le 1 trois fois : impair. Retire une pierre du tas de 3 et tu laisses 2-5-7, où chaque compte est pair. Les mathématiciens appellent cela la somme binaire des tas ; le jeu du 21 est le cas à un seul tas de la même théorie.
Entraîne-toi contre le bot
Connaître la règle et l’appliquer sous pression, ce n’est pas pareil. Sur Duelto, tu peux jouer au Nim tout de suite, sans compte : le jeu du 21, une variante à limite changeante et les tas classiques, contre un bot à trois niveaux. Tu joues toujours en premier, depuis une position gagnable, donc même le bot Difficile, qui ne rate jamais un coup gagnant, peut tomber, à condition de ne jamais lâcher le multiple de 4.
Si tu perds, le bot te montre le moment où la partie a basculé. Une fois le Difficile battu au jeu du 21, essaie Limite, puis Tas. Ensuite, le Nim en ligne compte pour le classement : la variante et les pierres sont tirées au hasard, n’importe quel joueur peut commencer et chacun a 60 secondes pour toute la partie. La règle doit donc être rapide autant que juste.
Joue au Nim gratuitement, contre le bot ou un vrai adversaire