Cómo ganar siempre en el juego del 21
Estrategia · · 5 min de lectura
El juego del 21 es el favorito de los profesores de matemáticas: 21 piedras, 21 cerillas o contar en voz alta hasta 21, con dos jugadores que por turnos toman una, dos o tres. Parece un juego de adivinar. No lo es. Uno de los jugadores puede ganar todas las veces, y después de una regla corta ese jugador serás tú.
Este artículo da la regla, explica por qué funciona sin nada más difícil que una división, repasa las versiones en que cambia el número objetivo y termina con la misma idea para el Nim clásico con varios montones, el juego que un matemático resolvió por completo en 1901.
Las reglas
Pon 21 piedras en un montón. Los jugadores se turnan para quitar una, dos o tres piedras: nunca ninguna y nunca más de tres. Quien se lleva la última piedra gana.
La versión de contar es el mismo juego disfrazado. Los jugadores se turnan para decir los siguientes uno, dos o tres números —“1, 2”, luego “3”, luego “4, 5, 6”— y quien dice 21 gana. Decir un número es tomar una piedra, así que todo lo que sigue vale para las dos.
La regla: deja un múltiplo de 4
Después de cada jugada tuya, deja un número de piedras divisible entre 4: 20, 16, 12, 8, 4 y al final 0. Tome lo que tome tu rival, tú completas hasta 4: si toma 1, tú tomas 3; si toma 2, tú 2; si toma 3, tú 1. Cada ronda quita exactamente cuatro piedras, y la última es tuya.
Desde 21, la primera jugada es tomar una piedra y dejar 20. Esta es una partida entera en la que empiezas tú:
- Tomas 1: quedan 20.
- Tu rival toma 3, tú 1: quedan 16.
- Tu rival toma 2, tú 2: quedan 12.
- Tu rival toma 1, tú 3: quedan 8.
- Tu rival toma 3, tú 1: quedan 4. Tome lo que tome ahora, tú te llevas el resto y ganas.
Por qué funciona
Cuenta hacia atrás desde el final. Con 1, 2 o 3 piedras, el jugador al que le toca se las lleva todas y gana. Con 4 exactas, el que juega está atrapado: cualquier jugada deja 1, 2 o 3, y gana el otro. Así que 4 es un número perdedor. Desde 5, 6 o 7 puedes dejarle ese 4 a tu rival, así que son ganadores, y 8 vuelve a ser perdedor, porque cualquier jugada desde 8 cae en 5, 6 o 7.
El patrón se repite cada cuatro piedras, porque una ronda —su jugada más la tuya— siempre puede sumar 4. Por eso los números perdedores son los múltiplos de 4, y la jugada ganadora es el resto de dividir el montón entre 4. 21 ÷ 4 deja resto 1: toma una.
Cuando la regla juega en tu contra
Si te dejan un múltiplo de 4, no hay jugada ganadora: contra alguien que conoce la regla, perderás. Así que toma una sola piedra y alarga la partida. Cada turno extra es otra oportunidad de que tu rival se equivoque, y basta un error: en cuanto deje un número que no sea múltiplo de 4, toma el resto y la regla es tuya.
Otras versiones
La regla se dobla, pero no se rompe. Calcula cuántas piedras puede quitar una ronda completa y apunta a sus múltiplos:
- Se puede tomar de una a k piedras en vez de una a tres: deja un múltiplo de k + 1. Con un límite de 5, deja 18, 12, 6 y 0.
- La última piedra pierde: deja uno más que un múltiplo de 4 —17, 13, 9, 5, 1— para que tu rival tenga que llevarse la última. Aquí 21 ya es uno de esos números, así que gana el segundo jugador.
- En la versión de contar, quien dice 21 pierde: intenta decir 4, 8, 12, 16 y 20. También aquí el segundo jugador puede ganar siempre.
El Nim clásico: la misma idea en binario
En el Nim clásico hay varios montones, y en cada jugada se toman las piedras que quieras de un solo montón. Contar hacia atrás a mano se vuelve lento, pero en 1901 el matemático de Harvard Charles Bouton publicó la solución completa y le dio al juego su nombre.
Escribe cada montón como suma de cuatros, doses y unos: 7 es 4 + 2 + 1, 5 es 4 + 1, 3 es 2 + 1. Luego cuenta cuántos montones tienen un 4, cuántos un 2 y cuántos un 1. Si todas las cuentas son pares, el jugador al que le toca pierde contra un juego perfecto. Si alguna es impar, hay una jugada que las vuelve a dejar todas pares: encuéntrala y juégala.
Toma el conocido inicio 3-5-7. El 4 aparece dos veces (en 5 y 7), el 2 dos veces (en 3 y 7), el 1 tres veces: impar. Quita una piedra del montón de 3 y dejas 2-5-7, donde todas las cuentas son pares. Los matemáticos lo llaman la suma binaria de los montones; el juego del 21 es el caso de un solo montón de la misma teoría.
Practica contra el bot
Saber la regla y aplicarla bajo presión son cosas distintas. En Duelto puedes jugar al Nim ahora mismo, sin cuenta: el juego del 21, una versión con límite variable y los montones clásicos, contra un bot de tres niveles. Siempre empiezas tú, desde una posición que se puede ganar, así que incluso el bot Difícil, que nunca deja pasar una jugada ganadora, puede caer, siempre que no sueltes el múltiplo de 4.
Si pierdes, el bot te muestra el momento en que se torció la partida. Cuando el Difícil caiga en el juego del 21, prueba Límite y después Montones. Luego, el Nim en línea cuenta para el ranking: la versión y las piedras se sortean, puede empezar cualquiera de los dos y cada uno tiene 60 segundos para toda la partida, así que la regla tiene que salir rápida además de correcta.