Wie man das 21-Spiel immer gewinnt
Strategie · · 4 Min. Lesezeit
Das 21-Spiel lieben Mathelehrer: 21 Steine, 21 Streichhölzer oder lautes Zählen bis 21, und zwei Spieler nehmen abwechselnd eins, zwei oder drei. Es sieht aus wie ein Ratespiel. Ist es nicht. Ein Spieler kann jedes Mal gewinnen, und nach einer kurzen Regel bist du dieser Spieler.
Dieser Artikel zeigt die Regel, erklärt mit nichts Schwierigerem als Division, warum sie funktioniert, behandelt die Varianten, in denen sich die Zielzahl ändert, und endet mit derselben Idee für klassisches Nim mit mehreren Haufen – dem Spiel, das ein Mathematiker 1901 vollständig gelöst hat.
Die Regeln
Leg 21 Steine auf einen Haufen. Die Spieler nehmen abwechselnd einen, zwei oder drei Steine weg – nie keinen und nie mehr als drei. Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt.
Die Zählvariante ist dasselbe Spiel in Verkleidung. Die Spieler sagen abwechselnd die nächsten ein, zwei oder drei Zahlen – „1, 2“, dann „3“, dann „4, 5, 6“ – und wer 21 sagt, gewinnt. Eine Zahl sagen heißt einen Stein nehmen, also gilt alles Folgende für beide.
Die Regel: Lass ein Vielfaches von 4 übrig
Lass nach jedem deiner Züge eine Zahl von Steinen übrig, die durch 4 teilbar ist: 20, 16, 12, 8, 4 und am Ende 0. Egal, was dein Gegner nimmt, du ergänzt auf 4: Nimmt er 1, nimmst du 3; nimmt er 2, nimmst du 2; nimmt er 3, nimmst du 1. Jede Runde entfernt genau vier Steine, und der letzte Stein gehört dir.
Bei 21 ist der erste Zug, einen Stein zu nehmen; 20 bleiben. Hier eine ganze Partie, in der du anfängst:
- Du nimmst 1: 20 bleiben.
- Er nimmt 3, du 1: 16 bleiben.
- Er nimmt 2, du 2: 12 bleiben.
- Er nimmt 1, du 3: 8 bleiben.
- Er nimmt 3, du 1: 4 bleiben. Was er jetzt auch nimmt, du nimmst den Rest und gewinnst.
Warum es funktioniert
Zähl vom Ende rückwärts. Bei 1, 2 oder 3 Steinen nimmt der Spieler am Zug alle und gewinnt. Bei genau 4 sitzt der Spieler am Zug fest: Jeder Zug lässt 1, 2 oder 3 übrig, und der andere gewinnt. Also ist 4 eine Verlustzahl. Von 5, 6 oder 7 aus kannst du deinem Gegner diese 4 hinlegen, also sind das Gewinnzahlen – und 8 ist wieder eine Verlustzahl, weil jeder Zug von 8 auf 5, 6 oder 7 führt.
Das Muster wiederholt sich alle vier Steine, weil eine Runde – sein Zug plus deiner – immer auf 4 ergänzt werden kann. Darum sind die Verlustzahlen die Vielfachen von 4, und der Gewinnzug ist der Rest, wenn man den Haufen durch 4 teilt. 21 ÷ 4 lässt Rest 1: Nimm einen.
Wenn die Regel gegen dich arbeitet
Liegt vor dir ein Vielfaches von 4, gibt es keinen Gewinnzug: Gegen jemanden, der die Regel kennt, verlierst du. Nimm also einen einzelnen Stein und zieh das Spiel in die Länge. Jeder zusätzliche Zug ist eine weitere Chance für den Gegner, sich zu vertun, und ein Fehler genügt: Sobald er eine Zahl übrig lässt, die kein Vielfaches von 4 ist, nimm den Rest, und die Regel gehört dir.
Andere Varianten
Die Regel biegt sich, aber sie bricht nie. Rechne aus, wie viele Steine eine volle Runde wegnehmen kann, und zieh auf deren Vielfache:
- Man darf einen bis k Steine nehmen statt einen bis drei: Lass ein Vielfaches von k + 1 übrig. Bei einem Limit von 5 lass 18, 12, 6 und 0 übrig.
- Wer den letzten Stein nimmt, verliert: Lass eins mehr als ein Vielfaches von 4 übrig – 17, 13, 9, 5, 1 –, damit dein Gegner den letzten nehmen muss. Hier ist 21 schon so eine Zahl, also gewinnt der zweite Spieler.
- In der Zählvariante verliert, wer 21 sagt: Versuch, 4, 8, 12, 16 und 20 zu sagen. Auch hier kann der zweite Spieler immer gewinnen.
Klassisches Nim: dieselbe Idee im Binärsystem
Im klassischen Nim gibt es mehrere Haufen, und ein Zug nimmt beliebig viele Steine von einem Haufen. Von Hand rückwärts zu zählen wird mühsam, aber 1901 veröffentlichte der Harvard-Mathematiker Charles Bouton die vollständige Lösung und gab dem Spiel seinen Namen.
Schreib jeden Haufen als Summe aus Vieren, Zweien und Einsen: 7 ist 4 + 2 + 1, 5 ist 4 + 1, 3 ist 2 + 1. Dann zähl, wie viele Haufen eine 4 enthalten, wie viele eine 2 und wie viele eine 1. Ist jede Anzahl gerade, verliert der Spieler am Zug gegen perfektes Spiel. Ist eine ungerade, gibt es einen Zug, der alle wieder gerade macht – finde ihn und spiel ihn.
Nimm den bekannten Start 3-5-7. Die 4 kommt zweimal vor (in 5 und 7), die 2 zweimal (in 3 und 7), die 1 dreimal – ungerade. Nimm einen Stein vom Dreierhaufen, und es bleibt 2-5-7, wo jede Anzahl gerade ist. Mathematiker nennen das die binäre Summe der Haufen; das 21-Spiel ist der Ein-Haufen-Fall derselben Theorie.
Üb es gegen den Bot
Die Regel zu kennen und sie unter Druck anzuwenden, sind zwei Paar Schuhe. Auf Duelto kannst du Nim sofort spielen, ohne Konto: das 21-Spiel, eine Variante mit wechselndem Limit und klassische Haufen, gegen einen Bot in drei Stufen. Du ziehst immer zuerst, aus einer Stellung, die du gewinnen kannst; darum ist sogar der Bot auf Schwer zu schlagen, obwohl er nie einen Gewinnzug auslässt – solange du das Vielfache von 4 nie aus der Hand gibst.
Verlierst du, zeigt dir der Bot den Moment, in dem es kippte. Ist Schwer im 21-Spiel gefallen, probier Limit, dann Haufen. Danach zählt Nim online für die Wertung: Variante und Steine werden zufällig gezogen, jeder Spieler kann anfangen, und jeder hat 60 Sekunden für die ganze Partie. Die Regel muss also schnell sitzen, nicht nur richtig.
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