Come vincere sempre al gioco del 21
Strategia · · 4 min di lettura
Il gioco del 21 è il preferito degli insegnanti di matematica: 21 sassi, 21 fiammiferi o contare ad alta voce fino a 21, con due giocatori che a turno ne prendono uno, due o tre. Sembra un gioco di fortuna. Non lo è. Uno dei due può vincere ogni volta, e dopo una regola breve quel giocatore sarai tu.
Questo articolo spiega la regola, mostra perché funziona con niente di più difficile di una divisione, passa in rassegna le varianti in cui il numero obiettivo cambia e chiude con la stessa idea per il Nim classico a più mucchi, il gioco che un matematico ha risolto del tutto nel 1901.
Le regole
Metti 21 sassi in un mucchio. I giocatori a turno ne tolgono uno, due o tre: mai zero e mai più di tre. Chi prende l’ultimo sasso vince.
La versione a voce è lo stesso gioco travestito. I giocatori a turno dicono i successivi uno, due o tre numeri («1, 2», poi «3», poi «4, 5, 6») e chi dice 21 vince. Dire un numero equivale a prendere un sasso, quindi tutto quello che segue vale per entrambe.
La regola: lascia un multiplo di 4
Dopo ogni tua mossa lascia un numero di sassi divisibile per 4: 20, 16, 12, 8, 4 e alla fine 0. Qualunque cosa prenda l’avversario, tu completi fino a 4: se ne prende 1, tu ne prendi 3; se ne prende 2, tu 2; se ne prende 3, tu 1. Ogni round toglie esattamente quattro sassi, e l’ultimo è tuo.
Da 21 la prima mossa è prendere un sasso e lasciarne 20. Ecco una partita intera in cui inizi tu:
- Prendi 1: ne restano 20.
- L’avversario ne prende 3, tu 1: ne restano 16.
- L’avversario ne prende 2, tu 2: ne restano 12.
- L’avversario ne prende 1, tu 3: ne restano 8.
- L’avversario ne prende 3, tu 1: ne restano 4. Qualunque cosa prenda ora, tu prendi il resto e vinci.
Perché funziona
Conta all’indietro dalla fine. Con 1, 2 o 3 sassi, chi ha il turno li prende tutti e vince. Con esattamente 4, chi ha il turno è bloccato: qualsiasi mossa lascia 1, 2 o 3, e vince l’altro. Quindi 4 è un numero perdente. Da 5, 6 o 7 puoi lasciare quel 4 all’avversario, quindi sono vincenti, e 8 è di nuovo perdente, perché ogni mossa da 8 porta a 5, 6 o 7.
Lo schema si ripete ogni quattro sassi, perché un round (la sua mossa più la tua) può sempre fare 4. Ecco perché i numeri perdenti sono i multipli di 4 e la mossa vincente è il resto della divisione del mucchio per 4. 21 ÷ 4 dà resto 1: prendine uno.
Quando la regola gioca contro di te
Se ti lasciano un multiplo di 4, non c’è mossa vincente: contro chi conosce la regola, perderai. Quindi prendi un solo sasso e allunga la partita. Ogni turno in più è un’altra occasione di errore per l’avversario, e un errore basta: appena lascia un numero che non è multiplo di 4, prendi il resto e la regola è tua.
Altre varianti
La regola si piega, ma non si spezza. Calcola quanti sassi può togliere un round completo e punta ai suoi multipli:
- Si possono prendere da uno a k sassi invece che da uno a tre: lascia un multiplo di k + 1. Con un limite di 5, lascia 18, 12, 6 e 0.
- Chi prende l’ultimo sasso perde: lascia uno in più di un multiplo di 4 (17, 13, 9, 5, 1), così l’avversario è costretto a prendere l’ultimo. Qui 21 è già un numero del genere, quindi vince il secondo giocatore.
- Nella versione a voce, chi dice 21 perde: cerca di dire 4, 8, 12, 16 e 20. Anche qui il secondo giocatore può sempre vincere.
Il Nim classico: la stessa idea in binario
Nel Nim classico ci sono più mucchi, e una mossa toglie quanti sassi vuoi da un solo mucchio. Contare all’indietro a mano diventa lento, ma nel 1901 il matematico di Harvard Charles Bouton pubblicò la soluzione completa e diede al gioco il suo nome.
Scrivi ogni mucchio come somma di 4, 2 e 1: 7 è 4 + 2 + 1, 5 è 4 + 1, 3 è 2 + 1. Poi conta quanti mucchi contengono un 4, quanti un 2 e quanti un 1. Se ogni conteggio è pari, chi ha il turno perde contro un gioco perfetto. Se uno è dispari, esiste una mossa che li rende di nuovo tutti pari: trovala e giocala.
Prendi il noto inizio 3-5-7. Il 4 compare due volte (in 5 e 7), il 2 due volte (in 3 e 7), l’1 tre volte: dispari. Togli un sasso dal mucchio da 3 e lasci 2-5-7, dove ogni conteggio è pari. I matematici la chiamano somma binaria dei mucchi; il gioco del 21 è il caso a un solo mucchio della stessa teoria.
Allenati contro il bot
Conoscere la regola e usarla sotto pressione sono due cose diverse. Su Duelto puoi giocare a Nim subito, senza account: il gioco del 21, una variante con limite che cambia e i mucchi classici, contro un bot a tre livelli. Inizi sempre tu, da una posizione vincibile, quindi anche il bot Difficile, che non si lascia mai sfuggire una mossa vincente, può essere battuto, purché tu non molli mai il multiplo di 4.
Se perdi, il bot ti mostra il momento in cui la partita è girata. Quando il Difficile cade nel gioco del 21, prova Limite, poi Mucchi. Dopo, il Nim online conta per la classifica: variante e sassi sono estratti a caso, può iniziare l’uno o l’altro e ognuno ha 60 secondi per tutta la partita. La regola deve essere veloce oltre che giusta.